PIOCHO π-8 CUENTO MATEMATICO

 π-8 

Erase una vez un matemático muy bueno, llamado Galoisetto, al que le gustaba mucho hacer construcciones con regla y compás. Quienes lo conocían afirman que había construido de este modo toda la colección de números racionales, que solo enseñaba a sus mejores amigos. 

Un buen día, mientras paseaba por el plano afín, se encontró un viejo polinomio ciclotómico de orden 227. 

–“Vaya, qué tenemos aquí, con esto podré construir un estupendo 227-´agono.” dijo Galoisetto. 

Así, después de muchos días de trabajo, separando y etiquetando las raíces, consiguió construir, usando sólo su vieja regla y su compás, un hermoso 227-´agono regular. 

Galoisetto estaba muy contento con su creación. Cuando pensó que nombre ponerle, recordó entonces que lo había hecho a partir de un polinomio que encontró en el plano afín, concretamente en el punto (π, 8). 

–“Entonces te llamare π-8.” dijo Galoisetto alegremente. 

Cansado de tanto trabajar se fue a la cama, y como contaba las ovejas usando sus amplios conocimientos de combinatoria, no tardó en quedarse dormido. Entonces apareció Gauss, el Hada Buena. 

–“No me gusta que Galoisetto esté tan solo, te daré vida para que le hagas compañía.” dijo el Hada Buena a π-8. 

Y dicho esto, el Hada Buena sacó su varita mágica con perfecta forma de símbolo integral, arrojó unos diferenciales mágicos sobre π-8, y con unos toques y Stokes de su varita, le aplicó la única solución de la secreta ecuación diferencial de la vida, con condiciones iniciales apropiadas para π-8. 

Una vez acabado el hechizo, el Hada Buena liberó a un pequeño grafo que había     quedado enredado en la σ-´algebra engendrada por alguna malvada araña. 

–“¿Cómo te llamas?” preguntó el Hada Buena. 

–“Pepito Grafillo, para servirla.” dijo el pequeño grafo. 

–“Tú serás el encargado de cuidar de π-8. Vigílale bien y sobre todo que nunca diga mentiras.” 

–“Sí, Hada Buena.” dijo Pepito Grafillo. 

Y dicho esto, el Hada Buena se multiplicó por i, desapareciendo instantáneamente. Galoisetto se alegró mucho de tener a π-8 pues éste le hacía mucha compañía. Un buen día, llegó el momento de ir a la escuela. 

–“Pórtate bien, todo el mundo debe saber los axiomas y las de mostraciones.” dijo Galoisetto 

–“Si, papá Galoisetto.” dijo muy obediente π-8.

Y dicho esto, emprendieron el camino hacia la escuela. 

Cuando π-8 y Pepito Grafillo llegaron al Instituto Cantor (llamado así por los grandes cantores que estudiaron allí), la profesora, una matriz definida negativa muy antipática, les presentó al resto de la clase. 

La primera clase que dieron le pareció muy interesante a π-8, pues estuvieron viendo las distintas propiedades que cumplían los elementos del conjunto vacío. Sin embargo, la segunda clase le pareció más aburrida, pues se limitaron a decir en voz alta todos los ordinales hasta ω inclusive. 

En el descanso, un travieso alumno al que no le gustaban nada las Matemáticas, llamado Nobel, se le acercó. 

–“Hey, poligonillo, ¿Qué tal si nos vamos por ahí y nos saltamos las siguientes clases?” dijo el mal estudiante. 

–“Nada de eso”, intervino Pepito Grafillo, “π-8 ha de portarse bien y nunca decir mentiras.” 

–“Hey Grafillo, no le des tantas vueltas al asunto, deberías quitarte esos ciclos que tienes en la cabeza.” 

Y así, con sus malas artes, el travieso alumno convenció a nuestro amigo para faltar a las siguientes clases. 

Cuando regresaron a la escuela, la profesora estaba muy alterada, y sus auto valores estaban rojos de la ira. Con uno de sus pivotes, apuntó acusadoramente a π-8. 

–“¿Dónde habéis estado?” preguntó furiosa. 

π-8 estaba muy asustado y no sabía qué decir, ya que habían estado espiando a unas bellísimas cuádricas degeneradas. Entonces mintió: 

–“Estuvimos demostrando la cuadratura del circulo.” 

Pero entonces pasó algo increíble: una de las raíces primitivas de π-8, α27, comenzó a crecer en módulo desmesuradamente. La profesora, asombrada, corrió a llamar al Director del Instituto, mientras todos los compañeros de π-8 se reían y hacían burlas. 

Pero he aquí que el Director del Instituto no era otro que Stromboli, el Catedrático Malvado. Cuando Stromboli vio a π-8, se dio cuenta enseguida de cómo podía usar a nuestro amigo para su propio beneficio. El terrible Catedrático agarró a π-8 y se lo llevó corriendo al complejo simplicial que utilizaba como guarida. 

Pepito Grafillo se lamentó: Si π-8 no se hubiera portado mal, esto no hubiera pasado. Pensó cómo encontrar a π-8, ya que la guarida del malvado Stromboli era secreta. 

Pensó y pensó, hasta que de repente se dio cuenta de que, en el forcejeo con Stromboli, π-8 había perdido una de sus raíces, α13. Pepito Grafillo estaba de suerte: como dicha raíz era primitiva, sólo tendría que preguntar en todos los cuerpos intermedios entre Q y Q[α13], y en alguno seguro que obtendría información sobre el paradero de π-8. Efectivamente, en uno de los cuerpos, una base le dio las coordenadas (respecto esa misma base, claro) del lugar donde se encontraba nuestro amigo. 

Mientras tanto, π-8 se encontraba muy asustado. El malvado Stromboli le había inmovilizado poniéndole pesadas etiquetas a todas las raíces menos a α27, ya que para ella tenia perversos planes. 

Y así fue. El feroz Catedrático obligó durante varias horas a π-8 a recitar los malvados teoremas que se le iban ocurriendo, de forma que, con solo observar el crecimiento de α27, podía saber si los teoremas eran o no ciertos, sin apenas trabajar. Stromboli estaba muy contento con su descubrimiento y no paraba de obligarle a decir teoremas sin control alguno, y π-8 estaba muy asustado pues sabia muy bien lo que le pasaría si Stromboli le obligaba a recitar un teorema indecidible. 

Por fortuna, esa noche, cuando Stromboli dormía sobre un montón de exámenes suspensos, apareció Pepito Grafillo. Como nuestro pequeño amigo no contenía a C5 ni a C3,3, pudo colarse fácilmente por debajo de la puerta y llegar hasta donde estaba π-8. 

Pepito Grafillo intentó con todas sus fuerzas mover las pesadas etiquetas de las raíces pero fue en vano. Cuando ya no sabía qué hacer, apareció entonces Gauss, el Hada Buena. 

–“Como veo que estás arrepentido, te liberare si y solo si me prometes no decir más mentiras.” le dijo a nuestro inmovilizado amigo. –“Sí, Hada Buena.” dijo π-8, muy asustado. 

Entonces el Hada Buena invocó un famoso hechizo suyo, el Periodo de Gauss, llamado así porque las palabras del conjuro forman una sucesión de periodo 2πi. Con dicho hechizo logró que todas las raíces de π-8 se anularan momentáneamente permitiendo a ´este escapar de las pesadas etiquetas que le había puesto el cruel Catedrático. Entonces π-8 le dio las gracias al Hada, y ´esta se proyecto hasta el infinito, desapareciendo en el acto. 

Así, nuestros amigos consiguieron escapar de las garras del terrible Stromboli. Se orientaron hacia la casa de Galoisetto y emprendieron el viaje. Mientras tanto, Galoisetto, desesperado por la pérdida de π-8, salió a buscarle, y la mala suerte quiso que una monstruosa superficie compacta se lo tragara. 

Pero la casualidad (ya que tenía probabilidad estrictamente positiva) hizo que esa misma superficie compacta se tragase a nuestros amigos en su camino de regreso. 

Cuando π-8 se encontró a Galoisetto dentro de la superficie, ´este se puso muy contento. 

–“Pero ahora nunca podremos salir de esta monstruosa superficie.” dijo apenado Galoisetto. 

Pero π-8 no se daba por vencido. El problema tiene alguna solución, se dijo. Se acomodó en un punto de silla de la superficie, y pensó y pensó hasta que de repente, se le ocurrió una idea.

Eligió un punto adecuado de la superficie y, tirando entre los tres, consiguieron arrancar el vector binormal en ese punto. Luego, eligieron otro punto cualquiera de la superficie, e incrustaron el vector forzando a que sea ortogonal con los otros 3 vectores que ya había. Esto obligó a la superficie a entrar localmente en R4, momento que aprovecharon nuestros amigos para escapar fácilmente del interior de la superficie. 

Una vez que volvieron a casa, π-8 le prometió a Galoisetto que sería bueno y no diría más mentiras. Y fueron felices, y calcularon generatrices. 

Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado. 

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                                  "PIOCHO"

                                   "LOS TRES CERITOS"

David Gutiérrez Rubio 

(cc) Con licencia Creative Commons

LOS TRES CERITOS (CUENTO MATEMATICAS)

 

Los tres Ceritos

 

Eranse una vez tres ceritos que vivían en un cuerpo k. Uno era muy listo, otro muy vago, y otro muy confiado.

Un buen día llegó a visitarles su amigo el uno. En muchos cuerpos como éste, era costumbre que el uno hiciera estas visitas cada cierto tiempo característico[i], que dependía del cuerpo donde vivían. Sin embargo, ese día, su amigo les trajo malas noticias.

—“Lo siento amigos míos, pero tendréis que marcharos. El congreso acaba de aprobar una ley conocida como ‘Teorema de unicidad de elementos neutros para la suma.’ que prohíbe la estancia en el cuerpo de más de un cero.”

—“¡Oh, vaya!, dos de nosotros tendrán que irse.”, dijo uno de los ceritos.

—“Lo siento, pero el puesto ya está cogido por un cero con enchufe. Dicen que es primo del famoso Cero de Hilbert. Temo que tendréis que iros los tres.”

Apenados, los ceritos cogieron sus pertenencias, y se fueron mucho más allá de las extensiones finitas, a un espacio normado propiedad de un multimillonario llamado Hausdorff, amigo de los ceritos, el cual les dejó vivir allí.

Como había mucho terreno libre por habitante, debido a que la topología empleada en la construcción del espacio era muy fina, decidieron construirse una casita para cada uno.

—“Yo me haré una casita con hiperplanos.” dijo el cerito m ́as confiado. Dicen que este cerito era tan confiado, que cuando iba al médico a hacerse un análisis matemático, siempre se los hacía sin ningún tipo de rigor.

—“Yo me construir ́e una casa con matrices.” dijo el cerito más vago. Malas lenguas contaban que era tan vago, que en la fábrica de ecuaciones donde trabajaba, sólo producía ecuaciones con solución trivial.

—“Pero deberíais haceros casas más fuertes, pues sé que por aquí ronda una esfera descentrada muy feroz, que os comer ́a cuando tenga la oportunidad.”, dijo el cerito sabio. Cuentan que este cerito era tan sabio que incluso ¡aprendió a dividir números![ii]

 

—“¡Bah, no tenemos miedo de esa esfera, nuestras casitas nos protegerán!”

—“Haced lo que queráis, pero yo me haré una casa fuerte, compacta, y por lo tanto cerrada y acotada.”, y dicho esto, se marchó.

 

Al cabo de un tiempo, cada cerito había terminado su casita. El cerito confiado tenía su casita hecha de hiperplanos y el cerito vago su casita compuesta enteramente de matrices.

Al cerito sabio le costó mucho trabajo hacer su casa, pues primero tuvo que comprar un 3-cubo compacto[iii] y empezar a parametrizar la casa. Cuando acabó, se dio cuenta de que el tejado tenía algunas discontinuidades evitables que producirían goteras cuando lloviera, así que tuvo que comprar unos cuantos abiertos para recubrir los agujeros por continuidad.

Una vez terminada la casa, comenzó a construirle una cota[iv] alrededor (como su casa era compacta, sabía que podría construir una), pero como había tenido la precaución de hacer su casa diferenciable pudo localizar fácilmente los puntos más alejados[v] y a partir de ahí construir la cota.

Como veis al cerito sabio le fueron muy útiles sus conocimientos sobre derivadas, que aprendió de sus múltiples peregrinaciones por la Ruta Jacobiana.

Pasó el tiempo, y la esfera se percató de ellos.

—“Parece que tenemos aquí comida deliciosa. Me alegro, empezaba a estar harto de alimentarme de restos de divisiones euclídeas.”

Y dicho esto, la malvada esfera fue directa a casa del cerito confiado (como estaba descentrada, la malvada esfera podía moverse por donde quisiera[vi]).

No tardó mucho en encontrar al cerito confiado, pues mirara por donde mirara, siempre veía parte de su casa[vii] así que fue hacia allí.

—“¡Cerito, si no abres la puerta soplaré, soplaré y la casa proyectaré!!”, amenazó la esfera.

—“No te tengo miedo, esfera cruel, mi casa es toda de hiperplanos dobles y aguantará.”, respondió el cerito.

Pero lo que no sabía el cerito era que la esfera había perdido un punto en un accidente con un equipo estereográfico[viii]. Se hinchó por el punto que le faltaba, y sopló tan fuerte, que dualizó la casa del cerito convirtiendo los hiperplanos de ésta en un montoncito de puntos insignificantes. El cerito, asustado, salió corriendo por una sucesión que convergía directamente a casa del cerito vago.

La malvada esfera salió corriendo detrás del cerito, pero nuestro amigo atajó por una subsucesión que le llevó a su destino más rápidamente. Por suerte, la esfera prefirió no adentrarse en la subsucesión por miedo a perderse (aquí se hace patente la ignorancia de la esfera de no conocer el Teorema Fundamental del Límite[ix]), con lo que el cerito llegó con tiempo de avisar al cerito vago y de resguardarse en la casita hecha de matrices.

Al cabo de un rato llegó la esfera. Gritó:

—“¡Jo, Jo, da igual dos ceros que n ceros o uno solo, no podéis nada contra mí, salid inmediatamente o soplaré, soplaré y la casa derribaré.”

—“No quiero salir, esfera, mi casa es totalmente hermítica y aguantará”, respondió el cerito.

Entonces la esfera sopló y sopló tan fuerte que redujo todas las matrices de la casa por columnas[x] , convirtiendo la casa en un esqueleto compuesto de incógnitas (el cerito vago había usado matrices de ecuaciones sin molestarse siquiera en resolverlas). Por si fuera poco, los dos ceritos hubieran salido volando de no ser porque se agarraron a un pivote de una matriz que todavía quedaba en pie.

Pero ¿por qué era tan mala la esfera? Según se cuenta, la esfera estuvo trabajando en una banda criminal llamada La Banda de Mobius, de ahí su carácter retorcido. Pero volvamos a nuestro cuento.

 

Despavoridos, los ceritos salieron corriendo a casa del cerito sabio. Lo encontraron montado en una tractriz[xi], plantando grafos en su huerto. Corrían tanto que saltaron la cota de la casa de un salto.

—“¡Socorro, socorro, ayúdanos cerito sabio, la esfera quiere devorarnos!”

—“No os preocupéis, entrad en mi casa, veréis cómo la esfera no puede hacernos daño.”, dijo el cerito sabio. Y dicho esto, se metieron en la casa.

Al cabo de un rato llegó la esfera malvada. No le costó trabajo encontrar el camino porque uno de los ceritos pisó un punto de tinta de modo que sólo tuvo que seguir la cicloide[xii] que iban dejando tras ellos. Una vez que llegó, gritó con todas sus fuerzas:

—“¡Por fin os tengo a los tres juntos, salid o soplaré, soplaré y la casa despejaré!”.

—“Nunca”, dijo el cerito sabio, “mi casa es fuerte y aguantará”.

Entonces la malvada esfera sopló y sopló, pero como la casa era compacta, sólo llegaron a ella un número finito de soplidos, lo cual no llegó a afectarle mucho. La esfera, obstinada, sopló y sopló con todas sus fuerzas, pero el cerito sabio había tenido la precaución de hacerse una casa con superficie Gaussiana, con lo cual todos los soplidos de la esfera se repelieron mutuamente.

La esfera quedó exhausta, y el cerito sabio aprovechó ese momento para dejar caer sobre ella un pesado atlas de 6 tomos que recubrieron totalmente a la esfera dejando a ésta aprisionada.

Entonces los ceritos agarraron a la esfera por una de sus geodésicas y tirando, tirando consiguieron deshilacharla y convertirla en una curva, y hecho esto la llevaron a R² donde ahora podría llevar una vida con parámetro natural[xiii].

Hecho esto, los ceritos agradecieron al cerito sabio su ayuda y prometieron ser más trabajadores y menos confiados.

Y colorín, corolario colorado, este cuento se ha terminado.

 

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                                  "PIOCHO"

 

David Gutiérrez Rubio

(cc) Con licencia Cr

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[i] La característica de un cuerpo es el menor entero n tal que 1 + . . . + 1(n veces) = 0.

[ii] Según la definición de divisibilidad, el cero no puede dividir a ningún número.

[iii] Es decir, [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

[iv] Aquí se entiende “cota” por “valla”.

[v] Si la aplicación es diferenciable, los puntos que maximizan la función anulan la derivada.

[vi] Dado que todos los puntos deben distar siempre lo mismo del centro

[vii] Una recta y un hiperplano proyectivos siempre se cortan. En este caso, la recta es la mirada de la esfera y el hiperplano el material de que está hecha la casa del cerito confiado.

[viii] La proyección estereográfica parametriza toda la esfera menos un punto.

[ix] En una sucesión que converge, cualquier subsucesión converge al mismo sitio.

[x] Si la esfera hubiera soplado hacia arriba o abajo, hubiera reducido las matrices por filas.

[xi] A modo de tractor.

[xii] Si una circunferencia rueda sobre una recta, la curva que describe cualquiera de sus puntos se llama cicloide. No olvidemos que los ceritos son redondos.

[xiii] Parámetro natural: cuando el vector velocidad de la curva es unitario. Se entiende por

“llevar una vida tranquila, sin prisas”.